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Was ist ein Dezibel?

Kaum eine Einheit stiftet am Anfang soviel Verwirrung wie das "Dezibel", abgekürzt als "dB".

Dieser Artikel versucht ein wenig Klarheit in die Einheit zu bringen, denn eigentlich ist die Sache relativ einfach.

Wozu braucht man das Dezibel?

Das Dezibel ist eine eigentlich gar keine "richtige" Einheit sondern eher eine abkürzende Schreibweise für Verhältnisse bzw. Multiplikatoren (Faktoren). Das Dezibel ist dann praktisch, wenn man mit Multiplikatoren (z.B. Verstärkungsfaktoren) hantieren muss, die sowohl sehr klein als auch extrem groß werden können und man zu faul ist, große Zahlen oder viele Nachkommastellen aufzuschreiben.

Und das Dezibel hat noch einen praktischen Vorteil. Wenn man mehrere Faktoren hat (z.B. mehrere hintereinander geschaltete Verstärker) müsste man deren Verstärkungsfaktoren mühsam miteinander multiplizieren. Dezibel-Angaben kann man dagegen einfach addieren.

Das Dezi im Dezibel

Die Vorsilbe "Dezi" bedeutet "Zehntel", genauso wie "Zenti" ein Hunderstel ist: Ein Dezimeter ist 1/10tel eines Meters, ein Zentimeter 1/100stel eines Meters. Ein Dezibel ist also dementsprechend ein Zehntel eines "Bel". Das ist insofern ungewöhnlich, als dass das Bel selbst (im Gegensatz zu eben seinem Zehntel) in der Praxis keine große Rolle spielt. Auch Zenti-Bel oder Kilo-Bel habe ich noch nie in freier Wildbahn gesehen.

Halten wie also fest: 1 Bel = 10 * 1/10 Bel = 10 Dezibel

Und was ist nun ein Bel?

In der nach dem nach dem Telefonpionier Alexander Graham Bell benannten Einheit Bel steckt der eigentliche Trick um Schreibarbeit zu sparen. Die Einheit ist nämlich logarithmisch definiert. Das klingt schlimmer als es ist, denn Logarithmen sind nur die Gegenstück (Umkehrfunktion) zu den Potenzen.

1 Bel entspricht damit per Definition einem Faktor von 101 = 10.
2 Bel sind dann schon 102 = 100.

Oder allgemein formuliert: n Bel entsprechen dem Faktor 10n.

Wenn man nun die Umrechnung von Dezibel in Bel von oben mit in die Formel einbaut erhält man:

n Dezibel, abgekürzt n dB, entsprechen dem Faktor 10n/10.

n muss dabei weder ganzzahlig noch positiv sein. 0 dB entspricht dem neutralen Faktor 1, d.h. bei 0 dB verändert sich also nichts. Negative Werte resultieren in Faktoren kleiner als 1, somit in einer negativen Verstärkung (Abschwächung).

Rückwärts

Wenn man die Formel umdreht, erhält man die Formel um einen gegebenen Faktor in eine Dezibel-Angabe umzurechnen:

Der Multiplikator m entspricht log10 m Bel, was wiederum 10 * log10 m Dezibel entspricht.

Für m=2 erhält man 10 * log10 2 ≈ 3 dB. 3 dB entsprechen also einer Verdoppelung der ursprünglichen Wertes.

Leistung vs. Spannung

Bisher war immer allgemein von "Faktoren" bzw. "Multiplikatoren" die Rede. In Bezug auf das Dezibel sind normalerweise Verstärkungs bzw. Dämpfungsfaktoren gemeint. Zum Beispiel kann ein Funkgerät eine Ausgangsleistung von 5 Watt haben, die durch einen 3 dB-Verstärker auf 10 Watt verdoppelt wird.

Wenn man mit elektrische Spannungen zueinander ins Verhältnis setzen möchte, muss man diese zunächst in Leistungen umrechnen:

Leistung ist Spannung mal Strom: P = U * I

Aus dem Ohmschen Gesetz ergibt sich ferner I = U / R.

Die erste Gleichung in die zweite eingesetzt ergibt: P = U * I = U * (U / R) = U2 / R

Wenn wir nun eine Spannung U annehmen und ausrechnen, wie sich die Leistung verhält, wenn man diese Spannung ver-n-facht, erhält man den Faktor:

m = (Leistung bei n-fachem U) / (Leistung bei einfachem U)

= ( (n*U)2 / R ) / (U2 * R)

= ( n2*U2 / R ) / (U2 / R)

= ( n2*U2 ) / (U2 )

= n2

Eine Verdopplung (n = 2) der Spannung bei gleichbleibendem Widerstand R führt also zu einer Vervierfachung (n2 = 22 = 2 * 2 = 4) der an diesem Widerstand verheizten Leistung.

Das Dezibel wird üblicherweise zur Angabe von Leistungsverhältnissen verwendet. Anstatt eine Spannung zunächst in eine Leistung umzurechnen, kann man auch beide Formeln zu einer zusammenführen:

Der (Leistungs-)Multiplikator m entspricht 10 * log10 m Dezibel, wie bereits oben gezeigt wurde.

Wenn wir statt dessen nur den Spannungsmultiplikator n haben, wissen wir nun dass m = n2.

Als Dezibel-Wert ergibt sich dann: 10 * log10 m = 10 * log10 n2 = 10 * 2 * log10 n = 20 * log10 n

Vgl. hierzu die Potenzregel des Logarithmengesetzes: logb nx = x * logb n

Fazit: Wer eine Spannung umrechnen möchte, muss das Ergebnis nur am Ende noch mal verdoppeln.


TODO:

  • Dezibel für Informatiker (wie man das Ganze auch zur Basis 2 ausrechen kann)
  • dBm, dBu,...
  • dBi, dBd